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设向量组α1,α2线性无关,α1,α2,β1线性相关,又非零向量β2与α1,α2正交,则下列结论正确的是( ).
设向量组α1,α2线性无关,α1,α2,β1线性相关,又非零向量β2与α1,α2正交,则下列结论正确的是( ).
admin
2022-12-09
30
问题
设向量组α
1
,α
2
线性无关,α
1
,α
2
,β
1
线性相关,又非零向量β
2
与α
1
,α
2
正交,则下列结论正确的是( ).
选项
A、向量组α
1
,α
2
,β
2
线性相关
B、向量组α
1
,α
2
,β
1
+kβ
2
线性无关
C、向量组α
1
,α
2
,β
1
+kβ
2
线性相关
D、向量组α
1
,α
2
,β
1
-β
2
线性无关
答案
D
解析
由α
1
,α
2
线性无关,且α
1
,α
2
,β
1
线性相关得β
1
可由向量组α
1
,α
2
线性表示;
令k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
β
2
=0,
由(β
2
,k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
β
2
)=0且β
2
与α
1
,α
2
正交得k
3
(β
2
,β
2
)=0,
再由β
2
≠0得(β
2
,β
2
)>0,从而k
3
=0,
于是k
1
α
1
+k
2
α
2
=0,再由α
1
,α
2
线性无关得k
1
=k
2
=0,
即α
1
,α
2
,β
2
线性无关,故β
1
-β
2
不可由α
1
,α
2
线性表示,即α
1
,α
2
,β
1
-β
2
线性无关,应选(D).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bkgD777K
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考研数学三
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