2. 考研
  3. 证明：若f在[a，b]上连续，且对任何x∈[a，b],f(x)≠0，则f在[a．b]上恒正或恒负．

证明：若f在[a，b]上连续，且对任何x∈[a，b],f(x)≠0，则f在[a．b]上恒正或恒负．

admin2022-10-31  22
问题 证明：若f在[a，b]上连续，且对任何x∈[a，b],f(x)≠0，则f在[a．b]上恒正或恒负．
选项
答案设x0∈[a，b]，不妨设f(x0)＞0，ξ∈[a．b]且ξ≠x0，由题设知，f(ξ)≠0，若f(ξ)＜0，则f(ξ)与f(x0)异号，由根的存在定理知，在区间[ξ，x0](或[x0,ξ])内至少存在一点η，使得f(η)=0．这与题设矛盾．故f(ξ)＞0，即f在[a．b]上恒正．f(x0)＜0时同理可证．f(x)恒负．
解析
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考研数学一

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