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证明:若f在[a,b]上连续,且对任何x∈[a,b],f(x)≠0,则f在[a.b]上恒正或恒负.
证明:若f在[a,b]上连续,且对任何x∈[a,b],f(x)≠0,则f在[a.b]上恒正或恒负.
admin
2022-10-31
22
问题
证明:若f在[a,b]上连续,且对任何x∈[a,b],f(x)≠0,则f在[a.b]上恒正或恒负.
选项
答案
设x
0
∈[a,b],不妨设f(x
0
)>0,ξ∈[a.b]且ξ≠x
0
,由题设知,f(ξ)≠0,若f(ξ)<0,则f(ξ)与f(x
0
)异号,由根的存在定理知,在区间[ξ,x
0
](或[x
0
,ξ])内至少存在一点η,使得f(η)=0.这与题设矛盾.故f(ξ)>0,即f在[a.b]上恒正.f(x
0
)<0时同理可证.f(x)恒负.
解析
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0
考研数学一
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