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设α=,β=,γ=,A=αβT,B=βTα,其中βT是β的转置,求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+γ
设α=,β=,γ=,A=αβT,B=βTα,其中βT是β的转置,求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+γ
admin
2012-06-28
30
问题
设α=
,β=
,γ=
,A=αβ
T
,B=β
T
α,其中β
T
是β的转置,求解方程
2B
2
A
2
x=A
4
x+B
4
x+γ
选项
答案
由已知得 [*] 又A
2
=αβ
T
αβ
T
=α(β
T
α)β
T
=2A,递推地A
4
=2
3
A. 代入原方程,得 16Ax=8Ax+16x+γ,即8(A-2E)x=γ(其中E是3阶单位矩阵). 令x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,代人上式,得到非齐次线性方程组 -x
1
+1/2x
2
=0; 2x
1
-x
2
=0; x
1
+1/2x
2
-2x
3
=1; 解其对应的齐次方程组,得通解ξ=(1,2,1)
T
(k为任意常数). 显然,非齐次线性方程组的一个特解为η
*
=(0,0,-1/2)
T
,于是所求方程的解为x=ξ+η
*
,即 x=k(1,2,1)
T
+(0,0,-1/2)
T
,其中k为任意常数.
解析
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考研数学三
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