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下列结论中正确的是:
下列结论中正确的是:
admin
2017-08-11
38
问题
下列结论中正确的是:
选项
A、如果矩形A中所有顺序主子式都小于零,则A一定为负定矩形
B、设A=(a
ij
)
m×n
,若以a
ij
=a
ji
,且a
ij
>0(i,j=1,2,…,n),则A一定为正定矩形
C、如果二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)中缺少平方项,则它一定不是正定二次型
D、二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+x
1
x
2
+x
1
x
3
+x
2
x
3
所对应的矩阵是
答案
C
解析
选项A,所有顺序主子式都小于零,不符合对称矩阵为负定的条件。对称矩阵为负定的充分必要条件是,奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正,所以错误。
选项B,实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是所有特征值都大于零,选项B给出的条件不能满足所有特征值都大于零的条件,所以错误。
选项D,给出的二次型所对应的对称矩阵为
,所以错误。
选项C,由惯性定理可知,实二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=
经可逆线性变换(或配方法)化为标准型时,在标准型(或规范型)中,正、负平方项的个数是唯一确定的。对于缺少平方项的n元二次型的标准型(或规范型),正惯性指数不会等于未知数的个数n,例如:
f(x
1
,x
2
)=x
1
.x
2
,无平方项,设
,代入变形f=y
1
2
-y
2
2
(标准型),其中惯性指数不全为正。所以二次型f(x
1
,x
2
)不是正定二次型。
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