设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明： (1)对(一1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]； (2)．

admin2015-07-10 69

问题设f(x)在(一1，1)内二阶连续可导，且f"(x)≠0．证明：
(1)对(一1，1)内任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使得
f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]；
(2)

．

选项

答案(1)对任意x∈(一1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]，其中0＜θ(x)＜1．因为f"(x)∈C(一1，1)且f"(x)≠0，所以f"(x)在(一1，1)内保号，不妨设f"(x)＞0，则f’(x)在(一1，1)内单调增加，又由于x≠0，所以θ(x)是唯一的． (2)由泰勒公式，得 [*]

解析

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考研数学三

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