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设f(x)在(一1,1)内二阶连续可导,且f"(x)≠0.证明: (1)对(一1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]; (2).
设f(x)在(一1,1)内二阶连续可导,且f"(x)≠0.证明: (1)对(一1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x]; (2).
admin
2015-07-10
45
问题
设f(x)在(一1,1)内二阶连续可导,且f"(x)≠0.证明:
(1)对(一1,1)内任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使得
f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x];
(2)
.
选项
答案
(1)对任意x∈(一1,1),根据微分中值定理,得 f(x)=f(0)+xf’[θ(x)x],其中0<θ(x)<1. 因为f"(x)∈C(一1,1)且f"(x)≠0,所以f"(x)在(一1,1)内保号,不妨设f"(x)>0,则f’(x)在(一1,1)内单调增加,又由于x≠0,所以θ(x)是唯一的. (2)由泰勒公式,得 [*]
解析
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考研数学三
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