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(13年)求曲线x3一xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
(13年)求曲线x3一xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
admin
2018-07-27
60
问题
(13年)求曲线x
3
一xy+y
3
=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
选项
答案
设(x,y)为曲线上的点,目标函数为f(x,y)=x
2
+y
2
,构造拉格朗日函数 L(x,y,λ)=x
2
+y
2
+λ(x
3
一xy+y
3
一1). 令 [*]=2x+(3x
2
一y)λ=0① [*]=2y+(3y
2
一x)λ=0② [*]=x
3
一xy+y
3
一1=0③ 当x>0,y>0时,由①,②得[*]即3xy(y—x)=(x+y)(x一y).得y=x,或3xy=一(x+y)(由于x>0,y>0,舍去). 将y=x代入③得2x
3
-x
2
一1=0,即(2x
2
+x+1)(x-1)=0,所以(1,1)为唯一可能的极值点,此时[*] 当x=0,y=1或x=1,y=0时[*] 故所求最长距离为[*],最短距离为1.
解析
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