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  3. (13年)求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

(13年)求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

admin2018-07-27  71
问题 (13年)求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．
选项
答案设(x，y)为曲线上的点，目标函数为f(x，y)=x2+y2，构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=x2+y2+λ(x3一xy+y3一1)． 令 [*]=2x+(3x2一y)λ=0① [*]=2y+(3y2一x)λ=0② [*]=x3一xy+y3一1=0③ 当x＞0，y＞0时,由①，②得[*]即3xy(y—x)=(x+y)(x一y)．得y=x，或3xy=一(x+y)(由于x＞0，y＞0，舍去)． 将y=x代入③得2x3-x2一1=0，即(2x2+x+1)(x-1)=0，所以(1，1)为唯一可能的极值点，此时[*] 当x=0，y=1或x=1,y=0时[*] 故所求最长距离为[*]，最短距离为1．
解析
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考研数学二

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