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考研
设F(x)= ∫x2x+πesintsintdt,则F(x)
设F(x)= ∫x2x+πesintsintdt,则F(x)
admin
2014-01-26
64
问题
设F(x)= ∫
x
2x+π
e
sint
sintdt,则F(x)
选项
A、为正常数.
B、为负常数.
C、恒为零.
D、不为常数.
答案
A
解析
[分析] 被积函数以2π为周期,利用周期函数的积分性质进行计算.
[详解] 由于e
sint
sint是以2π为周期的,因此
F(x)= ∫
x
2x+π
e
sint
sintdt=∫
0
2x
e
sint
sintdt
= -∫
0
2π
e
sint
dcost=0+∫
0
2π
e
sint
cos
2
te
sint
dt>0。
故应选(A).
[评注] 四个选项均与F(x)是否为常数有关,可考虑对F(x)求导,看其导数是否为零:
F’(x)= (∫
x
2x+π
e
sint
sintdt)’=e
sin(x+2π)
sin(x+2π)-e
sinx
sinx≡0,
于是F(x)=C,从而有
F(x)=F(0)=∫
0
2π
e
sint
sintdt=∫
0
π
e
sint
sintdt+∫
0
2π
e
sint
sintdt,
而
,
可见 F(x)=∫
0
π
(e
sint
-e
-sint
)sintdt=∫
0
π
e
-sint
(e
2sint
-1)sintdt>0.
得正确选项(A).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cQ34777K
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考研数学二
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