设F(x)＝ ∫x2x＋πesintsintdt，则F(x)

admin2014-01-26 54

问题设F(x)＝ ∫_x^2x＋πe^sintsintdt，则F(x)

选项 A、为正常数．
B、为负常数．
C、恒为零．
D、不为常数．

答案A

解析 [分析]  被积函数以2π为周期，利用周期函数的积分性质进行计算．
[详解]  由于e^sintsint是以2π为周期的，因此
F(x)＝ ∫_x^2x＋πe^sintsintdt＝∫₀^2xe^sintsintdt
＝－∫₀^2πe^sintdcost＝0＋∫₀^2πe^sintcos²te^sintdt＞0。
故应选(A)．
[评注]  四个选项均与F(x)是否为常数有关，可考虑对F(x)求导，看其导数是否为零：
  F’(x)＝ (∫_x^2x＋πe^sintsintdt)’＝e^sin(x＋2π)sin(x＋2π)－e^sinxsinx≡0，
于是F(x)＝C，从而有
F(x)＝F(0)＝∫₀^2πe^sintsintdt＝∫₀^πe^sintsintdt＋∫₀^2πe^sintsintdt，
而

，

可见 F(x)＝∫₀^π(e^sint－e^－sint)sintdt＝∫₀^πe^－sint(e^2sint－1)sintdt＞0．
得正确选项(A)．

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