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[2008年] 设n元线性方程组AX=b,其中 当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解.
[2008年] 设n元线性方程组AX=b,其中 当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解.
admin
2021-01-25
93
问题
[2008年] 设n元线性方程组AX=b,其中
当a为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解.
选项
答案
解一 当(n+1)a
n
=0即a=0时,此时增广矩阵[*]和系数矩阵的秩均为n-1<n,故方程组有无穷多组解,且 [*] [*]是含最高阶单位矩阵的矩阵.因n-秩(A)=1,故对应的齐次方程组的基础解系只含一个解向量.由基础解系和特解的简便求法知,基础解系和特解分别为 α=[1,0,0,…,0]
T
, η=[0,1,0,…,0]
T
, 故AX=b的通解为X=kα+η,k为任意常数. 解二 因秩(A)=秩[*]=n-1,故|A|=(n+1)a
n
=0.因而a=0时方程组有无穷多组解.由解一中的式①知,AX=0的同解方程组为[*]自由变量为x
1
,取x
1
=1,则其基础解系为α=[1,0,…,0]
T
,AX=0的通解为kα,k为任意常数. 又因AX=b的同解方程组为[*]令[*]满足上述方程,故其特解为η=[0,1,0,…,0]
T
.或在同解方程组[*]中令自由变量x
1
=0,也可得到η.所以AX=b的通解为k[1,0,0,…,0]
T
+[0,1,0,…,0]
T
,尼为任意常数.
解析
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考研数学三
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