设数列{an}满足:存在正数M,对一切n有 An=|a2-a1|+|a3-a2|+…|an-an-1|≤M. 证明:数列{an}与{An}都收敛.

admin2022-10-31  42

问题 设数列{an}满足:存在正数M,对一切n有
    An=|a2-a1|+|a3-a2|+…|an-an-1|≤M.
    证明:数列{an}与{An}都收敛.

选项

答案因为An+1-An=|an+1-an|≥0,An≤M.所以{An}单调递增有上届.故{An}收敛.由柯西收敛准则知,对[*]>0.[*]N∈N+,当m>n>N时有|Am-An|=Am-An<ε.于是 |am-an|=|(am-am-1)+(am-1-am-2)+…+(an+1-an)| ≤|am-am-1|+|am-1-am-2|+…+|an+1-an|=Am-An<ε, 由Cauchy收敛准则知,{an}收敛.

解析
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