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设数列{an}满足:存在正数M,对一切n有 An=|a2-a1|+|a3-a2|+…|an-an-1|≤M. 证明:数列{an}与{An}都收敛.
设数列{an}满足:存在正数M,对一切n有 An=|a2-a1|+|a3-a2|+…|an-an-1|≤M. 证明:数列{an}与{An}都收敛.
admin
2022-10-31
82
问题
设数列{a
n
}满足:存在正数M,对一切n有
A
n
=|a
2
-a
1
|+|a
3
-a
2
|+…|a
n
-a
n-1
|≤M.
证明:数列{a
n
}与{A
n
}都收敛.
选项
答案
因为A
n+1
-A
n
=|a
n+1
-a
n
|≥0,A
n
≤M.所以{A
n
}单调递增有上届.故{A
n
}收敛.由柯西收敛准则知,对[*]>0.[*]N∈N
+
,当m>n>N时有|A
m
-A
n
|=A
m
-A
n
<ε.于是 |a
m
-a
n
|=|(a
m
-a
m-1
)+(a
m-1
-a
m-2
)+…+(a
n+1
-a
n
)| ≤|a
m
-a
m-1
|+|a
m-1
-a
m-2
|+…+|a
n+1
-a
n
|=A
m
-A
n
<ε, 由Cauchy收敛准则知,{a
n
}收敛.
解析
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考研数学一
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