2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，其反函数为g(x)，若∫xx+f(x)g(t一x)dt=x2ln(1+x)．求f(x)．

设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，其反函数为g(x)，若∫xx+f(x)g(t一x)dt=x2ln(1+x)．求f(x)．

admin2023-01-06  53
问题 设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，其反函数为g(x)，若∫xx+f(x)g(t一x)dt=x2ln(1+x)．求f(x)．
选项
答案令t—x=u，则dt=du，于是 ∫xx+f(x)g(t—x)dt=∫0x+f(x)g(u)du=x2ln(1+x)． 将等式∫0x+f(x)g(u)du=x2ln(1+x)两边对x求导，同时注意到g[f(x)]=x，于是有 [*] =2[ln(1+x)+xln(1+x)一x]+x—ln(1+x)+C =ln(1+x)+2xln(1+x)一x+C． 由于f(x)在x=0处连续，可知[*]=C；又f(0)=0，解得C=0，于是 f(x)=ln(1+x)+2xln(1+x)一x．
解析
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考研数学二

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