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设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,其反函数为g(x),若∫xx+f(x)g(t一x)dt=x2ln(1+x).求f(x).
设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,其反函数为g(x),若∫xx+f(x)g(t一x)dt=x2ln(1+x).求f(x).
admin
2023-01-06
38
问题
设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,其反函数为g(x),若∫
x
x+f(x)
g(t一x)dt=x
2
ln(1+x).求f(x).
选项
答案
令t—x=u,则dt=du,于是 ∫
x
x+f(x)
g(t—x)dt=∫
0
x+f(x)
g(u)du=x
2
ln(1+x). 将等式∫
0
x+f(x)
g(u)du=x
2
ln(1+x)两边对x求导,同时注意到g[f(x)]=x,于是有 [*] =2[ln(1+x)+xln(1+x)一x]+x—ln(1+x)+C =ln(1+x)+2xln(1+x)一x+C. 由于f(x)在x=0处连续,可知[*]=C;又f(0)=0,解得C=0,于是 f(x)=ln(1+x)+2xln(1+x)一x.
解析
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考研数学二
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