2. 考研
  3. 证明下列不等式： (1)nbn－1(a－b)＜an－bn＜nan－1(a－b) (a＞b＞0，n＞1)； (2)(a＞b＞0)．

证明下列不等式： (1)nbn－1(a－b)＜an－bn＜nan－1(a－b) (a＞b＞0，n＞1)； (2)(a＞b＞0)．

admin2012-07-30  65
问题 证明下列不等式：
(1)nbn－1(a－b)＜an－bn＜nan－1(a－b)    (a＞b＞0，n＞1)；
(2)(a＞b＞0)．
选项
答案证： (1)在区间[b，a]上考虑函数f(x)＝xn，则对f(x)在[b，a]上应用拉格朗日中值定理，得 f(a)－f(b)＝fˊ(ε)(a－b)，ε∈(b，a)， 又fˊ(x)＝nxn－1在[b，a]上单调增加， 故 fˊ(b)＜fˊ(ε)＜fˊ(a)， 即 nbn－1(a－b)＜an－bn＜nan－1(a－b)． (2)在区间[b，a]上对f(x)＝lnx应用拉格朗日中值定理， 则 f(a)－f(b)＝fˊ(ε)(a－b)，ε∈(b，a)， [*]
解析
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考研数学三

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