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证明下列不等式: (1)nbn-1(a-b)<an-bn<nan-1(a-b) (a>b>0,n>1); (2)(a>b>0).
证明下列不等式: (1)nbn-1(a-b)<an-bn<nan-1(a-b) (a>b>0,n>1); (2)(a>b>0).
admin
2012-07-30
70
问题
证明下列不等式:
(1)nb
n-1
(a-b)<a
n
-b
n
<na
n-1
(a-b) (a>b>0,n>1);
(2)
(a>b>0).
选项
答案
证: (1)在区间[b,a]上考虑函数f(x)=x
n
,则对f(x)在[b,a]上应用拉格朗日中值定理,得 f(a)-f(b)=fˊ(ε)(a-b),ε∈(b,a), 又fˊ(x)=nx
n-1
在[b,a]上单调增加, 故 fˊ(b)<fˊ(ε)<fˊ(a), 即 nb
n-1
(a-b)<a
n
-b
n
<na
n-1
(a-b). (2)在区间[b,a]上对f(x)=lnx应用拉格朗日中值定理, 则 f(a)-f(b)=fˊ(ε)(a-b),ε∈(b,a), [*]
解析
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考研数学三
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