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设数列{an}是有穷等差数列,给出下面数表: a1 a2 a3 …… an-1 an 第1行 a1+a2 a2+a3 …… an-1+an 第2行 …
设数列{an}是有穷等差数列,给出下面数表: a1 a2 a3 …… an-1 an 第1行 a1+a2 a2+a3 …… an-1+an 第2行 …
admin
2017-10-16
62
问题
设数列{a
n
}是有穷等差数列,给出下面数表:
a
1
a
2
a
3
…… a
n-1
a
n
第1行
a
1
+a
2
a
2
+a
3
…… a
n-1
+a
n
第2行
… … …
… …
… 第n行
上表共有n行,其中第1行的n个数为a
1
,a
2
,a
3
,…,a
n
,从第二行起,每行中的每一个数都等于它肩上两数之和,记表中各行的数的平均数(按自上而下的顺序)分别为b
1
,b
2
,…,b
n
.
求证:数列b
1
,b
2
,…,b
n
成等比数列;
选项
答案
证明:由题设易知,b
1
=[*]. b
2
=[*]=a
1
+a
n
. 设表中的第k(1≤k≤n一1)行的数为c
1
,c
2
,…,c
n-k+1
,显然c
1
,c
2
,…,c
n-k+1
成等差数列,则它的第k+1行的数是c
1
+c
2
,c
2
+c
3
,…,c
n-k
+c
n-k+1
也成等差数列,它们的平均数分别是b
k
=[*],b
k+1
=c
1
+c
n-k+1
,于是[*]=2(1≤k≤n一1,k∈N
*
). 故数列b
1
,b
2
,…,b
n
是公比为2的等比数列.
解析
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