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设数列{an}是有穷等差数列，给出下面数表： a1 a2 a3 …… an－1 an 第1行 a1+a2 a2+a3 …… an－1+an 第2行 …
设数列{an}是有穷等差数列，给出下面数表： a1 a2 a3 …… an－1 an 第1行 a1+a2 a2+a3 …… an－1+an 第2行 …
admin
2017-10-16
45
问题
设数列{a
n
}是有穷等差数列，给出下面数表：
a
1
a
2
a
3
…… a
n－1
a
n
第1行
a
1
+a
2
a
2
+a
3
…… a
n－1
+a
n
第2行
… … …
… …
… 第n行
上表共有n行，其中第1行的n个数为a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和，记表中各行的数的平均数(按自上而下的顺序)分别为b
1
，b
2
，…，b
n
．
求证：数列b
1
，b
2
，…，b
n
成等比数列；
选项
答案
证明：由题设易知，b
1
=[*]． b
2
=[*]=a
1
＋a
n
． 设表中的第k(1≤k≤n一1)行的数为c
1
，c
2
，…，c
n－k＋1
，显然c
1
，c
2
，…，c
n－k＋1
成等差数列，则它的第k+1行的数是c
1
+c
2
，c
2
+c
3
，…，c
n－k
+c
n－k＋1
也成等差数列，它们的平均数分别是b
k
=[*]，b
k＋1
=c
1
+c
n－k＋1
，于是[*]=2(1≤k≤n一1，k∈N
*
)． 故数列b
1
，b
2
，…，b
n
是公比为2的等比数列．
解析
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