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求二元函数f(x,y)=x4+y4—2x2一2y2+4xy的极值.
求二元函数f(x,y)=x4+y4—2x2一2y2+4xy的极值.
admin
2017-10-23
427
问题
求二元函数f(x,y)=x
4
+y
4
—2x
2
一2y
2
+4xy的极值.
选项
答案
为求函数f(x,y)的驻点,解如下方程组 [*] 得到三个驻点(x
1
,y
1
)=(0,0),(x
2
,y
2
)=[*]. 为判定上述三个驻点是否是极值点,再计算 [*] 在点(0,0)处,由于A(0,0)=一4<0,B(0,0)=4,C(0,0)=一4,且AC—B
2
=0,故无法用充分条件判断点(0,0)是不是f(x,y)的极值点.但由于在直线y=x上,f(x,y)=2x
4
在x=0取极小值;而在直线y=一x上,f(x,一x)=2x
4
—8x
2
在x=0取极:大值,所以点(0,0)不是函数f(x,y)的极值点. 在点([*])处,由于A=20>0,B=4,C=20,AC—B
2
=384>0,故f([*])=一8是函数f(x,y)的极小值. 在点(一[*])处,由于A=20>0,B=4,C=20,AC—B
2
=384>0,故f(一[*])=一8也是函数f(x,y)的极小值.
解析
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考研数学三
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