设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明： A2=A的充分条件是ξTξ=-1；

admin2016-05-31 64

问题设A=E-ξξ^T，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ^T是ξ的转置．
证明：
A²=A的充分条件是ξ^Tξ=-1；

选项

答案A²=(E-ξξ^T)(E-ξξ^T)=E-2ξξ^T+ξ(ξ^Tξ)ξ^T=E-(2-ξ^Tξ)ξξ^T，因此A²=A[*]E-(2-ξ^Tξ)ξξ^T=E-ξξ^T[*](ξ^Tξ-1)ξξ^T=0．因为ξ≠0，所以ξξ^T≠0，因此A²=A的充分条件为ξ^Tξ=1．

解析

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