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  3. 已知f′(x)＝arctan(x－1)2，f(0)＝0，则f(x)dx＝___________．

已知f′(x)＝arctan(x－1)2，f(0)＝0，则f(x)dx＝___________．

admin2016-01-25  36
问题 已知f′(x)＝arctan(x－1)2，f(0)＝0，则f(x)dx＝___________．
选项
答案[*]
解析 利用题设将f(x)化为变限积分，从而将所求定积分化为二重积分求之．因为被积函数的导数已知，也可直接用分部积分法求之．
f(x)＝f(x)一f(0)＝f′(t)dt
    ＝arctan(t一1)2dt，
则   arctan(t－1)2dt]dx
    ＝arctan(t－1)2dtdx，
其中积分区域(见右图)为

   D＝｛(t，x)｜0≤t≤x，0≤x≤1｝．
交换上述二重积分的积分次序得到
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考研数学三

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