已知f′(x)＝arctan(x－1)2，f(0)＝0，则f(x)dx＝___________．

admin2016-01-25 60

问题已知f′(x)＝arctan(x－1)²，f(0)＝0，则

f(x)dx＝___________．

选项

答案[*]

解析利用题设将f(x)化为变限积分，从而将所求定积分化为二重积分求之．因为被积函数的导数已知，也可直接用分部积分法求之．
f(x)＝f(x)一f(0)＝

f′(t)dt
＝

arctan(t一1)²dt，
则

arctan(t－1)²dt]dx
＝

arctan(t－1)²dtdx，
其中积分区域(见右图)为

D＝｛(t，x)｜0≤t≤x，0≤x≤1｝．
交换上述二重积分的积分次序得到

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