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  3. 证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT，使A=abT

证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT，使A=abT

admin2016-05-31  92
问题 证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT，使A=abT
选项
答案充分性：设a=(a1，a2，…，am)T，b=(b1，b2，…，bm)T，设a1b1≠0，根据矩阵秩的性质 r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，因为A=abT，所以r(A)≤r(a)=1． 另一方面，根据假设a1b1≠0可知，A的第一行第一列的元素a1b1≠0，所以r(A)≥1． 综上所述r(A)=1． 必要性：设A=(aij)m×n，因r(A)=1，设a11≠0，由矩阵的等价可知，存在m阶可逆阵P和n 阶可逆阵Q，使 [*] 其中a=[*]，b=(1，0，…，0)Q，并且两者依次为非零m维列向量和非零n维行向量，且有A=abT成立．
解析
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考研数学三

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