证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT，使A=abT

admin2016-05-31 83

问题证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量b^T，使A=ab^T

选项

答案充分性：设a=(a₁，a₂，…，a_m)^T，b=(b₁，b₂，…，b_m)^T，设a₁b₁≠0，根据矩阵秩的性质 r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，因为A=ab^T，所以r(A)≤r(a)=1．另一方面，根据假设a₁b₁≠0可知，A的第一行第一列的元素a₁b₁≠0，所以r(A)≥1．综上所述r(A)=1．必要性：设A=(a_ij)_m×n，因r(A)=1，设a₁₁≠0，由矩阵的等价可知，存在m阶可逆阵P和n 阶可逆阵Q，使 [*] 其中a=[*]，b=(1，0，…，0)Q，并且两者依次为非零m维列向量和非零n维行向量，且有A=ab^T成立．

解析

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