设Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数，且∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，且对任意的t有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．

admin2022-10-27 10

问题设Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数，且∫_L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，且对任意的t有∫_(0，0)^(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫_(0，0)^(1，t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．

选项

答案因为曲线积分与路径无关，所以[*]，于是Q(x，y)=x²+φ(y)．由∫_(0，0)^(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫_(0，0)^(1，t)2xydx+Q(x，y)dy，得 t²+∫₀¹φ(y)dy=t+∫₀^tφ(y)dy，两边对t求导数得1+φ(y)=2t，φ(t)=2t-1，所以Q(x，y)=x²+2y-1．

解析

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