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设Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数,且∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,且对任意的t有∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).
设Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数,且∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,且对任意的t有∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).
admin
2022-10-27
7
问题
设Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数,且∫
L
2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,且对任意的t有∫
(0,0)
(t,1)
2xydx+Q(x,y)dy=∫
(0,0)
(1,t)
2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).
选项
答案
因为曲线积分与路径无关,所以[*],于是Q(x,y)=x
2
+φ(y). 由∫
(0,0)
(t,1)
2xydx+Q(x,y)dy=∫
(0,0)
(1,t)
2xydx+Q(x,y)dy,得 t
2
+∫
0
1
φ(y)dy=t+∫
0
t
φ(y)dy,两边对t求导数得1+φ(y)=2t,φ(t)=2t-1, 所以Q(x,y)=x
2
+2y-1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dQe4777K
0
考研数学一
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