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[2015年] 已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.
[2015年] 已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.
admin
2021-01-15
32
问题
[2015年] 已知函数f(x,y)=x+y+xy,曲线C:x
2
+y
2
+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.
选项
答案
易求得f’
x
(x,y)=1+y,f’
y
(x,y)=1+x,故gradf(x,y)=(1+y,1+x),[*] 为求其在约束条件x
2
+y
2
+xy=3下的最大值,转化为求z=(1+y)
2
+(1+x)
2
在约束条件下的最大值.为此,构造拉格朗日函数: F(x,y,λ)=(1+y)
2
+(1+x)
2
+λ(x
2
+y
2
+xy一3). 令 [*] 由式①、式②分别得[*] 由[*],得 (y—x)(1一y一x)=0. 当y=x时,将其代入式③,得到x
2
=1,即x=±1,则y=x=±1.于是得到可能的最大值点为A
1
(1,1),A
2
(一1,-1). 当1一y—x=0,即y=1—x时,代入式③,得到(x一2)(x+1)=0.如x=2,则y=1—2=一1;如x=一1,则y=2.于是又得到两个可能的最大值点A
3
(2,一1),A
4
(一1,2). 综上所述,在点A
1
,A
2
,A
3
,A
4
处函数z,亦即[*]可能取得最大值.将其坐标代入|gradf(x,y)|,得 [*] 因而f(x,y)在曲线C上的最大方向导数的最大值为3.
解析
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考研数学一
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