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  3. 假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{y=—1}= 求： （Ⅰ）Z=XY的概率密度fZ（z）； （Ⅱ）V=|X—Y|的概率密度fV（υ）。

假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{y=—1}= 求： （Ⅰ）Z=XY的概率密度fZ（z）； （Ⅱ）V=|X—Y|的概率密度fV（υ）。

admin2017-01-21  38
问题 假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{y=—1}=
求：
（Ⅰ）Z=XY的概率密度fZ（z）；
（Ⅱ）V=|X—Y|的概率密度fV（υ）。
选项
答案（Ⅰ）根据题意P{Y=一1}=[*]，P{Y=1}=[*]，X～N（0，1）且X与Y相互独立，所以Z=XY的分布函数为 FZ（z）=P{XY≤z}=P{Y=—1}P{XY≤z|Y=—1} +P{Y=1}P{XY≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{—X≤z|Y=—1} +P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z} [*] 即Z=XY服从标准正态分布，所以其概率密度为 fZ（z）=φ（z）=[*] （Ⅱ）由于V=|X—Y|只取非负值，因此当υ＜0时，其分布函数FV≤（υ）=P{|X—Y|≤υ}=0；当υ≥0时， FV（υ）=P{—υ≤X—Y≤υ} =P{Y=一1}P{—υ≤X—Y≤υ|Y=—1}+P{Y=1}P{—υ≤X—Y≤υ|Y=1} [*] 由于FV（υ）是连续函数，且除个别点外，导数都是存在的，所以V的概率密度为 [*]
解析
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考研数学三

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