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设A是n阶证定阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1. 正交矩阼Q,使QTAQ为对角矩阵.
设A是n阶证定阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1. 正交矩阼Q,使QTAQ为对角矩阵.
admin
2014-03-11
64
问题
设A是n阶证定阵,E是n阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.
正交矩阼Q,使Q
T
AQ为对角矩阵.
选项
答案
由于 [*] 故矩阵A的特征值为:λ
1
=3,λ
2
=0,λ
3
=-3. 当λ
1
=3时,由[*] 得到属于特征值λ=3的特征向量α
1
=(1,0,-1)
T
. 当λ
2
=0时,由(0E-A)x=0,[*] 得到属于特征值A=0的特征向最α
2
=(1,1,1)
T
. 当λ
3
=-3时,由(-3E-A)x=0,[*] 得到属于特征值λ=-3的特征向量α
3
=(1,-2,1)
T
. 实对称矩阵的特征值不同时,其特征向量已经正交,故只需单位化. β
1
=[*] β
2
=[*] β
3
=[*] 那么令Q=(β
1
,β
2
,β
3
)=[*] ,得Q
T
AQ=Q
-1
AQ=A=[*]
解析
方程组有解且不唯一,即方程组有无穷多解,故可由r(A)=r(A)<3来求a的值.而Q
T
AQ=A即Q
-1
AQ=A,为此应当求出A的特征值与特征向量再构造正交矩阵Q.
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考研数学三
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