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  3. 设A是n阶证定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1． 正交矩阼Q，使QTAQ为对角矩阵．

设A是n阶证定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1． 正交矩阼Q，使QTAQ为对角矩阵．

admin2014-03-11  62
问题 设A是n阶证定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．
正交矩阼Q，使QTAQ为对角矩阵．
选项
答案由于 [*] 故矩阵A的特征值为：λ1=3，λ2=0，λ3=-3． 当λ1=3时，由[*] 得到属于特征值λ=3的特征向量α1=(1，0，-1)T． 当λ2=0时，由(0E-A)x=0，[*] 得到属于特征值A=0的特征向最α2=(1，1，1)T． 当λ3=-3时，由(-3E-A)x=0，[*] 得到属于特征值λ=-3的特征向量α3=(1，-2，1)T． 实对称矩阵的特征值不同时，其特征向量已经正交，故只需单位化． β1=[*] β2=[*] β3=[*] 那么令Q=(β1，β2，β3)=[*] ，得QTAQ=Q-1AQ=A=[*]
解析 方程组有解且不唯一，即方程组有无穷多解，故可由r(A)=r(A)<3来求a的值．而QTAQ=A即Q-1AQ=A，为此应当求出A的特征值与特征向量再构造正交矩阵Q．
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考研数学三

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