设a为n维列向量，且A=E-ααT． (Ⅰ)证明：A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (Ⅱ)若α为单位向量，求齐次线性方程组AX=0的通解； (Ⅲ)若α为单位向量，求矩阵A的特征值，判断A是否可相似对角化．

admin2022-12-09 15

问题设a为n维列向量，且A=E-αα^T．
(Ⅰ)证明：A²=A的充分必要条件是α为单位向量；
(Ⅱ)若α为单位向量，求齐次线性方程组AX=0的通解；
(Ⅲ)若α为单位向量，求矩阵A的特征值，判断A是否可相似对角化．

选项

答案(Ⅰ)A²=(E-αα^T)(E-αα^T)=E-2αα^T+αα^T·αα^T，令α^T·α=k，则A²=E-(2-k)αα^T，故A²=A的充分必要条件是k=1，即α为单位向量． (Ⅱ)由α为单位向量得A²=A，或A(E-A)=O，则 r(A)+r(E-A)≤n，再由r(A)+r(E-A)≥r(E)=n得r(A)+r(E-A)=n，而E-A=αα^T，从而r(E-A)=r(αα^T)=r(α)=1，于是r(A)=n-1，方程组AX=0的基础解系含一个线性无关的解向量，再由Aα=(E-αα^T)α=α-α=0得α为AX=0的基础解系，故AX=0的通解为X=kα(其中k为任意常数). [*] 由B²=B得B的特征值为0，1，再由tr(B)=a₁²+a₂²+…+a_n²=α^Tα=1得B的特征值为λ₁=λ₂=…=λ_n-1=0，λ_n=1，故A的特征值为λ₁=λ₂=…=λ_n-1=1，λ_n=0，因为A^T=A，所以A可相似对角化.

解析

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考研数学三

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设a为n维列向量，且A=E-ααT． (Ⅰ)证明：A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (Ⅱ)若α为单位向量，求齐次线性方程组AX=0的通解； (Ⅲ)若α为单位向量，求矩阵A的特征值，判断A是否可相似对角化．

考研数学三

1592年，率兵20万征伐朝鲜的是日本人()。

在《商务馆学汉语词典》里，“能”的某一义项的释义为：“表示从人的通常的心理、道理上允许，多用于否定和疑问”。这一释义小仅解释了“能”的概念意义，还说明了其_____。

主要研究言语的差异，联系社会因素来探讨语言变异发生的原因和规律，常常使用统计的方法和概率的模式来描写这些变异现象。()

曾某购买某汽车销售公司的轿车一辆，总价款20万元，约定分5次付清，每次4万元，每月的第一天支付。曾某按期支付3次共计12万元后，因该款汽车大幅降价，曾某遂停止付款。则汽车销售公司可以采取的措施有()。

“总体而言”，丹尼斯女士说，“工程学的学生比以往更懒惰了。我知道这一点是因为我的学生中能定期完成布置的作业的人越来越少了。”以上得出的结论依据下面哪个假设?

函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，若方程f(x)=0有四个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=()。

函数f(x)=x2+bx+c对于任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，则()。

从-1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有()个，其中不同的偶函数共有()个。

求下列函数的高阶微分：设u(x)=lnx．v(x)=ex，求d3(uv)，d3(u／v)；

设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x3e2x为特解，求该微分方程．

在装配图中，装配尺寸包括配合尺寸和重要的相对()。

颏孔

下列属于招标公告内容的选项是(　　)。

流动性偏好理论认为市场是由长期投资者控制的。()

()是指尽管借款人目前有能力偿还贷款本息，但存在一些可能对偿还产生不利影响因素的贷款。

下列属于业主委员会会议职责的有()。

设f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是()

已知一个有序表为(13，18，24，35，47，50，62，83，90，115，134)，当使用二分法查找值为90的元素时，查找成功的比较次数为

下列关于计算机病毒的叙述中，正确的是______。

设a为n维列向量，且A=E-ααT． (Ⅰ)证明：A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (Ⅱ)若α为单位向量，求齐次线性方程组AX=0的通解； (Ⅲ)若α为单位向量，求矩阵A的特征值，判断A是否可相似对角化．

考研数学三

1592年，率兵20万征伐朝鲜的是日本人()。

在《商务馆学汉语词典》里，“能”的某一义项的释义为：“表示从人的通常的心理、道理上允许，多用于否定和疑问”。这一释义小仅解释了“能”的概念意义，还说明了其_____。

主要研究言语的差异，联系社会因素来探讨语言变异发生的原因和规律，常常使用统计的方法和概率的模式来描写这些变异现象。()

曾某购买某汽车销售公司的轿车一辆，总价款20万元，约定分5次付清，每次4万元，每月的第一天支付。曾某按期支付3次共计12万元后，因该款汽车大幅降价，曾某遂停止付款。则汽车销售公司可以采取的措施有()。

“总体而言”，丹尼斯女士说，“工程学的学生比以往更懒惰了。我知道这一点是因为我的学生中能定期完成布置的作业的人越来越少了。”以上得出的结论依据下面哪个假设?

函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，若方程f(x)=0有四个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=()。

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从-1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有()个，其中不同的偶函数共有()个。

求下列函数的高阶微分：设u(x)=lnx．v(x)=ex，求d3(uv)，d3(u／v)；

设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x3e2x为特解，求该微分方程．

在装配图中，装配尺寸包括配合尺寸和重要的相对()。

颏孔

下列属于招标公告内容的选项是( )。

流动性偏好理论认为市场是由长期投资者控制的。()

()是指尽管借款人目前有能力偿还贷款本息，但存在一些可能对偿还产生不利影响因素的贷款。

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设f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是()

已知一个有序表为(13，18，24，35，47，50，62，83，90，115，134)，当使用二分法查找值为90的元素时，查找成功的比较次数为

下列关于计算机病毒的叙述中，正确的是______。

下列属于招标公告内容的选项是(　　)。