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设α1,α2,...,αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系: β1=t1α1+t2α2, β2=t1α2+t2α3,…,βs=t1αs+t2α1,其中t1,t2为实常数. 试问t1,t2满足什么关系时,β1,β2,...,βs,也为Ax=0的一个基础解
设α1,α2,...,αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系: β1=t1α1+t2α2, β2=t1α2+t2α3,…,βs=t1αs+t2α1,其中t1,t2为实常数. 试问t1,t2满足什么关系时,β1,β2,...,βs,也为Ax=0的一个基础解
admin
2013-02-27
62
问题
设α
1
,α
2
,...,α
s
为线性方程组Ax=0的一个基础解系:
β
1
=t
1
α
1
+t
2
α
2
, β
2
=t
1
α
2
+t
2
α
3
,…,β
s
=t
1
α
s
+t
2
α
1
,其中t
1
,t
2
为实常数.
试问t
1
,t
2
满足什么关系时,β
1
,β
2
,...,β
s
,也为Ax=0的一个基础解系.
选项
答案
由于β
i
(i=1,2,…,s)是α
1
,α
2
,...,α
s
的线性组合,又α
1
,α
2
,...,α
s
是Ax=0的解,所以根据齐次方程组解的性质知β
i
(i=1,2,…,s)均为Ax=0的解. 从α
1
,α
2
,...,α
s
是Ax=0的基础解系,知s=n-r(A). 下面来分析β
1
,β
2
,...,β
s
线性无关的条件.设k
1
β
1
+k
2
β
2
+…+k
s
β
s
=0,即 (t
1
k
1
+t
2
k
s
)α
1
+(t
2
k
1
+t
1
k
2
)α
2
+(t
2
k
2
+t
1
k
3
)α
3
+…+(t
2
k
s-1
+t
1
k
s
)α
s
=0, 由于α
1
,α
2
,...,α
s
线性无关,因此有 [*] 所以当t
1
s
+(-1)
s+1
t
2
s
≠0时,方程组有零解k
1
=k
2
=…=k
s
=0.从而β
1
,β
2
,...,β
s
线性无关.即当s为偶数t
1
≠±t
2
,s为奇数,t
1
≠-t
2
时,β
1
,β
2
,...,β
s
也为Ax=0的一个基础解系.
解析
如果β
1
,β
2
,...,β
s
,是Ax=0的基础解系,则表明
(1)β
1
,β
2
,...,β
s
是Ax=0的解;
(2)β
1
,β
2
,...,β
s
线性无关;
(3)s=n-r(A)或β
1
,β
2
,...,β
s
可表示Ax=0的任一个解.
那么要证β
1
,β
2
,...,β
s
是基础解系,也应当证这三点.本题中(1)、(3)是容易证明的,关键是(2).线性相关性的证明在考研中是常见的.
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考研数学三
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