设A＝E－2ξξT，其中ξ＝(χ1，χ2，…，χ3)T，且有ξTξ＝1．则 (1)A是对称阵； (2)A2是单位阵； (3)A是正交阵； (4)A是可逆阵．上述结论中，正确的个数是( )

admin2020-03-02 24

问题设A＝E－2ξξ^T，其中ξ＝(χ₁，χ₂，…，χ₃)^T，且有ξ^Tξ＝1．则
(1)A是对称阵；
(2)A²是单位阵；
(3)A是正交阵；
(4)A是可逆阵．
上述结论中，正确的个数是( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 A^T＝(E－2ξ^T)^T＝E^T－(2ξξ^T)^T＝E－2ξξ^T＝A，(1)成立．
A²＝(E－2ξξ^T)(E－2ξξ^T)＝E－4ξξ^T＋4ξξ^Tξξ^T＝E－4ξξ^T＋4ξ(ξ^Tξ)ξ^T＝E，(2)成立．
由(1)、(2)，得A²＝AA^T＝E，故A是正交阵，(3)成立．
由(3)知正交阵是可逆阵，且A^-1＝A^T，(4)成立．
故应选D．

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考研数学一

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