(2009年真题)已知A=(aii)为三阶矩阵,ATA=E(AT是A的转置矩阵,E是单位矩阵),若a11=-1,b=(1,0,0)T,则方程组Ax=b的解x=[ ]。

admin2015-04-14  37

问题 (2009年真题)已知A=(aii)为三阶矩阵,ATA=E(AT是A的转置矩阵,E是单位矩阵),若a11=-1,b=(1,0,0)T,则方程组Ax=b的解x=[     ]。

选项 A、(-1,1,0)T
B、(-1,0,1)T
C、(-1,-1,0)T
D、(-1,0,0)T

答案D

解析 本题考查了矩阵的运算(转置、乘法、逆矩阵)与解线性方程组。
解法1
设A=(aii)=,因
ATA=E,所以A-1=AT
由A-1=E得,AT=E。
由AT=E可得,1+a122+a132=1,
所以a12=0,a13=0。
由ATA=E
可得,1+a212+a312=1,
所以a21=0,a31=0。
因此AT=,方程Ax=b
两边左乘AT,得ATAx=ATb,
从而

故正确选项为D。
解法2
用特殊矩阵代入法。设

它满足题设条件ATA=E,显然A-1=A。
方程Ax=b两边左乘A-1
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