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(2009年真题)已知A=(aii)为三阶矩阵,ATA=E(AT是A的转置矩阵,E是单位矩阵),若a11=-1,b=(1,0,0)T,则方程组Ax=b的解x=[ ]。
(2009年真题)已知A=(aii)为三阶矩阵,ATA=E(AT是A的转置矩阵,E是单位矩阵),若a11=-1,b=(1,0,0)T,则方程组Ax=b的解x=[ ]。
admin
2015-04-14
109
问题
(2009年真题)已知A=(a
ii
)为三阶矩阵,A
T
A=E(A
T
是A的转置矩阵,E是单位矩阵),若a
11
=-1,b=(1,0,0)
T
,则方程组Ax=b的解x=[ ]。
选项
A、(-1,1,0)
T
B、(-1,0,1)
T
C、(-1,-1,0)
T
D、(-1,0,0)
T
答案
D
解析
本题考查了矩阵的运算(转置、乘法、逆矩阵)与解线性方程组。
解法1
设A=(a
ii
)=
,因
A
T
A=E,所以A
-1
=A
T
。
由A
-1
=E得,A
T
=E。
由A
T
=E可得,1+a
12
2
+a
13
2
=1,
所以a
12
=0,a
13
=0。
由A
T
A=E
可得,1+a
21
2
+a
31
2
=1,
所以a
21
=0,a
31
=0。
因此A
T
=
,方程Ax=b
两边左乘A
T
,得A
T
Ax=A
T
b,
从而
。
故正确选项为D。
解法2
用特殊矩阵代入法。设
,
它满足题设条件A
T
A=E,显然A
-1
=A。
方程Ax=b两边左乘A
-1
得
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