2. 考研
  3. 设A、B为3阶相似非零实矩阵，矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij是aij的代数余子式，矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0，则矩阵A*+E可逆，方程组(B—E)x=0没有非零解．

设A、B为3阶相似非零实矩阵，矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij是aij的代数余子式，矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0，则矩阵A*+E可逆，方程组(B—E)x=0没有非零解．

admin2019-12-26  42
问题 设A、B为3阶相似非零实矩阵，矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij是aij的代数余子式，矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0，则矩阵A*+E可逆，方程组(B—E)x=0没有非零解．
选项
答案由aij=Aαij(i，j=1，2，3)可知，AT=A*．于是 [*] 又因为A≠O，不妨假设a11≠0，所以 |A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132＞0，故|A|=1． 又由已知，A～B，所以A与B有相同的特征值，且|B|=|A|=1． 由|E+2B|=|E+3B|=0，可得B有特征值[*] 设B的另一特征值为λ3，则有[*]所以A、B的特征值为[*]λ3=6．于是矩阵A*+E=AT+E=A+E的特征值为[*]λ3+1=7全不为0，故A*+E可逆． 显然B一E的特征值为[*]λ3－1=5．所以B一E可逆，故方程组(B－E)x=0没有非零解．
解析
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考研数学三

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