2. 考研
  3. 设常数k＞0，方程lnx-+k=0在(0，+∞)内根的个数为[ ]．

设常数k＞0，方程lnx-+k=0在(0，+∞)内根的个数为[ ]．

admin2016-03-01  4
问题 设常数k＞0，方程lnx-+k=0在(0，+∞)内根的个数为[    ]．
选项 A、0
B、1
C、2
D、3
答案C
解析
令f’(x)=0，得x=e．当0＜x＜e时，f’(x)＞0，因此f(x)在(0，e]上单调增加；当e＜x＜+∞时，f’(x)＜0，因此f(x)在(e，+∞)上单调减少，从而x=e是f(x)的唯一极大值点，因此它是最大值点，最大值f(e)=k＞0．

由f(x)=一∞及极限的保号性质，存在x1，0＜x1＜e，使得f(x1)＜0．同理存在x2＞e，使得f(x2)＜0．
    f(x)在[x1，e]，[e，x2]上利用连续函数的零点存在定理，得出f(x)在(x1，e)，(e，x2)内各至少有一个零点的结论．又f(x)在(x1，e)，(e，x2)内是单调的．因而f(x)在(x1，e)，(e，x2)内最多各有一个零点．综合上述，f(x)在(x1，e)和(e，x2)内各有一个零点，即方程f(x)=0在(x1，e)及(e，x2)内各有一个根．
    故选(C)．  
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