设α1,α2,…,αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系, β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,βs=tsαs+t2α1, 其中t1,t2为实常数。试问t1,t2满足什么条件时,β1,β2,…,βs也为Ax=0的一个基础解系。

admin2017-01-14  25

问题 设α1,α2,…,αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系,
β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,βs=tsαs+t2α1
其中t1,t2为实常数。试问t1,t2满足什么条件时,β1,β2,…,βs也为Ax=0的一个基础解系。

选项

答案因为βi(i=1,2,…,s)是α1,α2,…,αs的线性组合,且α1,α2,…,αs是Ax=0的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知βi(i=1,2,…,s)均为Ax=0的解。 从α1,α2,…,αs是Ax=0的基础解系知s=n-r(A)。 以下分析β1,β2,…,βs线性无关的条件: 设k1β1+k2β2+…+ksβs=0,即 (t1k1+t2ks1+(t2k1+t1k22+(t2k2+t1k33+…+(t2ks-1+t1kss=0, 由于α1,α2,…,αs线性无关,所以 [*] 又因系数矩阵的行列式 [*] 当[*]时,方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。因此当s为偶数且t1≠±t2,或当s为奇数且t1≠-t2时,β1,β2,…,βs线性无关。

解析
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