设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；

admin2016-10-24 37

问题设f_n(x)=x+x²+…+xⁿ(n≥2)．
证明方程f_n(x)=1有唯一的正根x_n；

选项

答案令φ_n(x)=f_n(x)=1，因为φ_n(0)=一1＜0，φ_n(1)=n一1＞0，所以φ_n(x)在(0，1)[*](0，+∞)内有一个零点，即方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有一个根．因为φ’_n(x)=1+2x+…+nx^n一1＞0，所以φ_n(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φ_n(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为x_n．

解析

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考研数学三

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证明：与锥面z2＝x2＋y2相切的平面通过坐标原点．
把下列函数展成麦克劳林展开式。
利用极坐标计算下列二重积分：
写出函数f(x)＝x(－π≤x＜π)的傅里叶级数，并利用此展开式求级数的和．
设f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，且f(a)＝0，证明：存在一点ε∈(0，a)，使f(ε)＋εfˊ(ε)＝0．
证明：曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为常值．
设D是平面有界闭区域，f(x，y)与g(x，y)都在D上连续，且g(x，y)在D上不变号，证明：存在(ε，η)∈D，使得
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