设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；

admin2016-10-24 72

问题设f_n(x)=x+x²+…+xⁿ(n≥2)．
证明方程f_n(x)=1有唯一的正根x_n；

选项

答案令φ_n(x)=f_n(x)=1，因为φ_n(0)=一1＜0，φ_n(1)=n一1＞0，所以φ_n(x)在(0，1)[*](0，+∞)内有一个零点，即方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有一个根．因为φ’_n(x)=1+2x+…+nx^n一1＞0，所以φ_n(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φ_n(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为x_n．

解析

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考研数学三

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设f(x)为正值连接函数，f(0)＝1，且对任一x＞0，曲线y＝f(x)在区间[0，x]上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积，求此曲线方程．
证明：与锥面z2＝x2＋y2相切的平面通过坐标原点．
把下列函数展成麦克劳林展开式。
设证明：f(x，y)在点(0，0)处连续且可偏导，并求出fx(0，0)和fy(00)的值．
设f(x)，g(x)均在[a，b]上连续，证明：
设可微函数z＝f(x，y)满足方程证明：f(x，y)在极坐标系中只是θ的函数．
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