某地区的人口增长速度与当前该地区的人口成正比．若两年后，人口增加一倍；三年后，人口是20 000人，试估计该地区最初的人口数．

admin2017-07-26 37

问题某地区的人口增长速度与当前该地区的人口成正比．若两年后，人口增加一倍；三年后，人口是20 000人，试估计该地区最初的人口数．

选项

答案设该地区在时刻t时的人口数为N，且最初的人口数为N₀，则[*]=kN，这是一个变量可分离的微分方程，其通解为N=ce^kt，其中c为任意常数．将初始条件t=0、N=N₀代入，得c=N₀．于是，N=N₀e^kt．当t=2时，N=2N₀，将它们代入到上式中，得2N₀=N₀e^kt，从而k=[*]．当t=3时，N=20 000，再将它们代入到上式中，得20 000=N₀[*]．于是，N₀=[*]≈7 071，即该地区最初的人口数为7 071人．

解析本题主要考查如何根据实际问题，建立相应的微分方程，并求其对应的特解．

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考研数学三

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