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设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。
设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。
admin
2015-09-14
82
问题
设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+A
T
A，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。
选项
答案
因为 B
T
=(λE+A
T
A)
T
=λE+A
T
A=B 所以B为n阶对称矩阵。对于任意的实n维向量x，有 x
T
Bx=x
T
(λE+A
T
A)x=λx
T
x+x
T
A
T
Ax=λx
T
x+(Ax)
T
(Ax) 当x≠0时，有x
T
x＞0，(Ax)
T
(Ax)≥0．因此，当λ＞0时，对任意的x≠0，有 x
T
Bx=λx
T
x+(Ax)
T
(Ax)＞0 即B为正定矩阵。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eqU4777K
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考研数学三
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