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  3. 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。

admin2015-09-14  55
问题 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。
选项
答案因为 BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B 所以B为n阶对称矩阵。对于任意的实n维向量x，有 xTBx=xT(λE+ATA)x=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax) 当x≠0时，有xTx＞0，(Ax) T (Ax)≥0．因此，当λ＞0时，对任意的x≠0，有 xTBx=λxTx+(Ax)T(Ax)＞0 即B为正定矩阵。
解析
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考研数学三

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