设f(x)在[1,2]上具有二阶导数f″(x),且f(2)=f(1)=0,如果F(x)=(x一1)f(x),试证明至少存在一点ξ∈(1,2),使F″(ξ)=0。

admin2018-08-06  28

问题 设f(x)在[1,2]上具有二阶导数f″(x),且f(2)=f(1)=0,如果F(x)=(x一1)f(x),试证明至少存在一点ξ∈(1,2),使F″(ξ)=0。

选项

答案设G(x)=F(x)一(x一2)f(1),则G(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,而G(1)=f(1),G(2)=f(2),于是由f(2)=f(1)=0知G(1)=G(2)。 由罗尔定理知在(1,2)内至少有一点ξ1使G′(ξ1)=0,即F′(ξ1)=f(1), 又由F′(x)=f(x)+(x一1)f′(x)知F′(1)=f(1), 显然F′(x)=f(x)+(x—1)f′(x)在[1,ξ1]上满足罗尔定理条件, 于是在(1,ξ1)内至少有一点ξ使F″(ξ)=0, 即在(1,2)内至少有一点ξ使F″(ξ)=0。

解析
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