已知α1,是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量,α2,α3是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量,那么矩阵P不能是( )

admin2016-03-16  27

问题 已知α1,是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量,α2,α3是矩阵A属于特征值λ=6的特征向量,那么矩阵P不能是(    )

选项 A、(α1,一α2,α3)。
B、(α1,α23,α2—2α3)。
C、(α1,α3,α2)。
D、(α12,α1一α2,α3)。

答案D

解析
P=(α123),则有AP=PA,即
亦即    (Aα1,Aα2,Aα3)=(α1α1,α2α2,α3α3)。可见αi是矩阵A属于特征值αi的特征向量(i=1,2,3),又因矩阵P可逆,因此α1,α2,α3线性无关。若α是属于特征值λ的特征向量,则一α仍是属于特征值λ的特征向量,故选项A正确。若α,β是属于特征值λ的特征向量,则α,β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中,α2,α3是属于λ=6的线性无关的特征向量,故α23,α2一2α3,仍是λ=6的特征向量,并且α23,α2一2α3线性无关,故选项B正确。对于选项C,因为α2,α3均是λ=6的特征向量,所以α2与α3谁在前谁在后均正确即选项C正确。由于α1,α2是不同特征值的特征向量,因此α12,α1一α2不再是矩阵A的特征向量,故选D。
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