已知函数f(x)在区间[0,2]上可积,且满足f(x)=6x2—2x∫02f(x)dx+3∫01f(x)dx,则函数f(x)的解析式是

admin2022-10-09  30

问题 已知函数f(x)在区间[0,2]上可积,且满足f(x)=6x2—2x∫02f(x)dx+3∫01f(x)dx,则函数f(x)的解析式是

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案B

解析 由题设可令∫02f(x)dx=A,∫0af(x)dx=B,代入即知f(x)满足关系式f(x)=6x2—2Ax
    +3B,于是又有
    A=∫02f(x)dx=∫02(6x2—2Ax+3B)dx=16—4A+6B,
    B=∫01f(x)dx=∫01(6x2—2Ax+3B)dx=2一A+3B.
    从而A,B满足方程组
   
    解之可得A=5,B=.从而函数f(x)的解析式是f(x)=6x2—10x+.故应选B.
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