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设f(x)在[a,b]上有定义,M>0且对任意的x,y∈[a,b],有 |f(x)一f(y)|≤M|x—y|k. (1)证明:当k>0时,f(x)在[a,b]上连续; (2)证明:当k>1时,f(x)≡常数.
设f(x)在[a,b]上有定义,M>0且对任意的x,y∈[a,b],有 |f(x)一f(y)|≤M|x—y|k. (1)证明:当k>0时,f(x)在[a,b]上连续; (2)证明:当k>1时,f(x)≡常数.
admin
2015-06-26
100
问题
设f(x)在[a,b]上有定义,M>0且对任意的x,y∈[a,b],有
|f(x)一f(y)|≤M|x—y|
k
.
(1)证明:当k>0时,f(x)在[a,b]上连续;
(2)证明:当k>1时,f(x)≡常数.
选项
答案
(1)对任意的x
0
∈[a,b],由已知条件得 0≤|f(x)一f(x
0
)|≤M|x—x
0
|
k
,[*]=f(x
0
), 再由x
0
的任意性得f(x)在[a,b]上连续. (2)对任意的x
0
∈[a,6],因为k>1, 所以0≤[*]≤M|x—x
0
|,由夹逼定理得f’(x
0
)=0,因为x
0
是任意一点,所以f’(x)≡0,故f(x)≡常数.
解析
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0
考研数学三
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