求微分方程(y+)dx=xdy的通解，并求满足y(1)=0的特解．

admin2016-09-13 45

问题求微分方程(y+

)dx=xdy的通解，并求满足y(1)=0的特解．

选项

答案此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之．令y=ux，原方程化为 (ux+[*])dx=x(udx+xdu)，得｜x｜[*]dx=x²du．当x＞0时，上式成为 [*] 两边积分得 ln(u+[*)=lnx+lnC，其中C＞0，将任意常数记成lnC．由上式解得 u=[*][Cx－(Cx)^－1]，即有 y=[*] ① 当x＜0，类似地仍可得 y=[*] ② 其中C＞0．式①与式②其实是一样的，故得通解 y=[*] ③ 其中C＞0为任意常数．将初值条件y(1)=0代入式③得C=±1，但由于C＞0，故得相应的特解为 y=[*](x²－1)．

解析

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考研数学三

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