2. 考研
  3. 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为x3/6+1/3,求f(x)的表达式．

设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为x3/6+1/3,求f(x)的表达式．

admin2013-01-23  62
问题 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为x3/6+1/3,求f(x)的表达式．
选项
答案由题意得，有f(0)=1，f(1)：0，且 [*]， 将上式两边对x求导数，得 1/2[1+f(x)]+x/2f’(x)-f(x)=x2/2． 当02，积分可得 f(x)/x=x+1/x+C. 于是，方程的通解为f(x)=x2+1+Cx． 把f(1)=0代入通解，可确定常数C=-2，故所求函数f(x)的表达式为 f(x)=x2+1-2x=(x-1)2，0≤x≤1．
解析
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考研数学三

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