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求下列微分方程的通解: (1)y〞+2yˊ-3y=e-3x; (2)y〞-5yˊ+4y=x2-2x+1; (3)y〞-3yˊ=2e2xsinx; (4)y〞-2yˊ+y=x(1+2ex); (5)y〞+4y=xcosx; (6)y〞-y=
求下列微分方程的通解: (1)y〞+2yˊ-3y=e-3x; (2)y〞-5yˊ+4y=x2-2x+1; (3)y〞-3yˊ=2e2xsinx; (4)y〞-2yˊ+y=x(1+2ex); (5)y〞+4y=xcosx; (6)y〞-y=
admin
2011-11-19
102
问题
求下列微分方程的通解:
(1)y〞+2yˊ-3y=e
-3x
; (2)y〞-5yˊ+4y=x
2
-2x+1;
(3)y〞-3yˊ=2e
2x
sinx; (4)y〞-2yˊ+y=x(1+2e
x
);
(5)y〞+4y=xcosx; (6)y〞-y=sin
2
x.
选项
答案
(1)特征方程为r
2
+2r-3=0,则特征根r
1
=1,r
2
=-3,故齐次方程通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
-3x
.设原方程一个特解为y
*
=Axe
-3x
,则y
*
ˊ=(A-3Ax)e
-3x
,y
*
〞=(-6A+9Ax)e
-3x
,代入原方程得 y〞
*
+2yˊ
*
-3y
*
=(-6A+9Ax+2A-6Ax-3Ax)e
-3x
=-4Ae
-3x
=e
-3x
. 故A=-1/4,y
*
=-x/4e
-3x
. 从而原方程的通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
-3x
-x/4e
-3x
. (2)特征方程为r
2
-5r+4=0,特征根r
1
=4,r
2
=1,故齐次方程通解为y=C
1
e
x
+C
2
e
4x
. 设原方程的一个特解y
*
=ax
2
+bx+c,则y
*
ˊ=2ax+b,y
*
〞=2a,代入原方程得 2a-5(2ax+b)+4(ax
2
+bx+c) =4ax
2
+(4b-lOa)x+4c+2a-5b =x
2
-2x+1. [*]
解析
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考研数学三
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