2. 考研
  3. (Ⅰ)证明如下所述的“”型洛必达(L′Hospital)法则：设 (1)g(x)=0； (2)存在x0的某去心邻域(x0)，当x∈(x0)时，f′(x)与g′(x)都存在，且g′(x)≠0； (3)=A(或∞)， 则有(只要求对于x→的情形给出证明)； (

(Ⅰ)证明如下所述的“”型洛必达(L′Hospital)法则：设 (1)g(x)=0； (2)存在x0的某去心邻域(x0)，当x∈(x0)时，f′(x)与g′(x)都存在，且g′(x)≠0； (3)=A(或∞)， 则有(只要求对于x→的情形给出证明)； (

admin2016-07-22  49
问题 (Ⅰ)证明如下所述的“”型洛必达(L′Hospital)法则：设
(1)g(x)=0；
(2)存在x0的某去心邻域(x0)，当x∈(x0)时，f′(x)与g′(x)都存在，且g′(x)≠0；
(3)=A(或∞)，
则有(只要求对于x→的情形给出证明)；
(Ⅱ)并请举例说明，若条件(3)不成立，但仍可以存在．
选项
答案(Ⅰ)令 [*] 在区间[x0，x]上F(x)与G(x)满足柯西中值定理条件，于是有 [*](x0)，x0＜ξ＜x． 由于[*]=A(或∞)，所以[*]=A(或∞)，故 [*] (Ⅱ)举例：f(x)=x2sin[*]，g(x)=x(x≠0)． [*]g(x)=0． f′(x)=2xsin[*]， g′(x)=1≠0(x≠0)， [*]=0， 而 [*] 却不存在，洛必达法则不成立，原因在于条件(3)不满足．
解析
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考研数学二

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