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(Ⅰ)证明如下所述的“”型洛必达(L′Hospital)法则:设 (1)g(x)=0; (2)存在x0的某去心邻域(x0),当x∈(x0)时,f′(x)与g′(x)都存在,且g′(x)≠0; (3)=A(或∞), 则有(只要求对于x→的情形给出证明); (
(Ⅰ)证明如下所述的“”型洛必达(L′Hospital)法则:设 (1)g(x)=0; (2)存在x0的某去心邻域(x0),当x∈(x0)时,f′(x)与g′(x)都存在,且g′(x)≠0; (3)=A(或∞), 则有(只要求对于x→的情形给出证明); (
admin
2016-07-22
89
问题
(Ⅰ)证明如下所述的“
”型洛必达(L′Hospital)法则:设
(1)
g(x)=0;
(2)存在x
0
的某去心邻域
(x
0
),当x∈
(x
0
)时,f′(x)与g′(x)都存在,且g′(x)≠0;
(3)
=A(或∞),
则有
(只要求对于x→
的情形给出证明);
(Ⅱ)并请举例说明,若条件(3)不成立,但
仍可以存在.
选项
答案
(Ⅰ)令 [*] 在区间[x
0
,x]上F(x)与G(x)满足柯西中值定理条件,于是有 [*](x
0
),x
0
<ξ<x. 由于[*]=A(或∞),所以[*]=A(或∞),故 [*] (Ⅱ)举例:f(x)=x
2
sin[*],g(x)=x(x≠0). [*]g(x)=0. f′(x)=2xsin[*], g′(x)=1≠0(x≠0), [*]=0, 而 [*] 却不存在,洛必达法则不成立,原因在于条件(3)不满足.
解析
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考研数学二
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