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用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3 为标准形,并求此非退化的线性变换.
用非退化(可逆)的线性变换化二次型 f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3 为标准形,并求此非退化的线性变换.
admin
2016-11-03
23
问题
用非退化(可逆)的线性变换化二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=-4x
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
为标准形,并求此非退化的线性变换.
选项
答案
令 [*]① 则 [*] 再令 [*]② 则 原式=-[*] 因此原二次型的标准形为[*] 所作的非退化的线性变换是用新变量表示旧变量的线性变换,即 X=PZ, 其中X=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
, Z=[z
1
,z
2
,z
3
]
T
. 为求此变换,由方程组②得到 y
3
=z
3
, y
2
=z
2
, y
1
=(z
1
+z
3
)/2. 将此代入方程组①得到所求的非退化的线性变换: [*] 即 [*] 且使 [*]
解析
由于所给的二次型的各项全是交叉项,不含平方项,故常作可逆的线性变换:x
1
=y
1
+y
2
,x
2
=y
1
一y
2
,x
3
=y
3
将其化为标准形.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/fXu4777K
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考研数学一
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