2. 考研
  3. (2002年试题，一)已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=______________．

(2002年试题，一)已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=______________．

admin2013-12-27  127
问题 (2002年试题，一)已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=______________．
选项
答案由题设，原二次型的标准型为f=6y12，则二次型相应矩阵的秩等于1，且相应特征值为6，0，0，设原二次型的相应矩阵为A，则[*]当a≠2时，可化为[*]此时rA≥2；当a=2时，可化为[*]此时rA=1．由此得出a=2． 解析二;因为二次型经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值．即6，0，0是矩阵A的特征值．又∑αij=∑λij故a+a+a=6+0+0，即得a=2． 解析三依题设知，二次型f所对应的实对称矩阵的特征值为6，0，0．又实对称矩阵[*]其特征多项式[*]故有a+4=6，a一2=0．即得a=2． 解析四;因A，B为相似矩阵，对应特征多项式相同，即｜λE一A｜=｜λE一B｜故而有[*]即[λ一(a+4)][λ一(a一2)]2=λ3一6λ2λ3一3aλ2+3(a2一4)λ一(a+4)(a一2)2=λ3一6λ2由同次幂的系数相等，得a=2．
解析
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考研数学一

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