2. 考研
  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(a－1)χ12＋(a－1)χ22＋2χ32＋2χ1χ2(a＞0)的秩为2． (1)求a； (2)用正交变换法化二次型为标准形．

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(a－1)χ12＋(a－1)χ22＋2χ32＋2χ1χ2(a＞0)的秩为2． (1)求a； (2)用正交变换法化二次型为标准形．

admin2019-02-23  62
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(a－1)χ12＋(a－1)χ22＋2χ32＋2χ1χ2(a＞0)的秩为2．
    (1)求a；
    (2)用正交变换法化二次型为标准形．
选项
答案(1)A＝[*]，因为二次型的秩为2，所以r(A)＝2，从而a＝2． (2)A＝[*]，由｜λE－A｜＝0得λ1＝λ2＝2，λ3＝0． 当λ＝2时，由(2E－A)X＝0得λ＝2对应的线性无关的特征向量为 [*] 当λ＝0时，由(0E－A)X＝0得λ＝0对应的线性无关的特征向量为α3＝[*]． 因为α1，α2两两正交，单位化得 [*] 则f＝XTAX[*]YT(QTAQ)Y＝2y12＋2y22．
解析
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考研数学二

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