设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T，都是A的属于特征值6的特征向量。求A的另一特征值和对应的特征向量；

admin2015-09-14 30

问题设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ₁=λ₂=6是A的二重特征值，若α₁=(1，1，0)^T，α₂=(2，1，1)^T，α₃=(一1，2，一3)^T，都是A的属于特征值6的特征向量。
求A的另一特征值和对应的特征向量；

选项

答案因为λ₁=λ₂=6是A的二重特征值，故A的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个，有题设可得α₁，α₂，α₃的一个极大无关组为α₁，α₂，故α₁，α₂为A的属于特征值6的线性无关的特征向量。由r(A)=2知|A|=0，所以A的另一特征值为λ₃=0．设λ₃=0对应的特征向量为α=(x₁，x₂，x₃)^T，则有α_i^Tα=0(i=1，2)，即[*]，解得此方程组的基础解系为α=(一1，1，1)^T，即A的属于特征值λ₃=0的特征向量为kα=k(一1，1，1)^T(k为任意非零常数)。

解析

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考研数学三

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设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T，都是A的属于特征值6的特征向量。求A的另一特征值和对应的特征向量；

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