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设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(一1,2,一3)T,都是A的属于特征值6的特征向量。 求A的另一特征值和对应的特征向量;
设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T,α3=(一1,2,一3)T,都是A的属于特征值6的特征向量。 求A的另一特征值和对应的特征向量;
admin
2015-09-14
22
问题
设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ
1
=λ
2
=6是A的二重特征值,若α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(2,1,1)
T
,α
3
=(一1,2,一3)
T
,都是A的属于特征值6的特征向量。
求A的另一特征值和对应的特征向量;
选项
答案
因为λ
1
=λ
2
=6是A的二重特征值,故A的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个,有题设可得α
1
,α
2
,α
3
的一个极大无关组为α
1
,α
2
,故α
1
,α
2
为A的属于特征值6的线性无关的特征向量。 由r(A)=2知|A|=0,所以A的另一特征值为λ
3
=0. 设λ
3
=0对应的特征向量为α=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则有α
i
T
α=0(i=1,2),即[*],解得此方程组的基础解系为α=(一1,1,1)
T
,即A的属于特征值λ
3
=0的特征向量为kα=k(一1,1,1)
T
(k为任意非零常数)。
解析
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考研数学三
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