2. 考研
  3. 已知向量组(1)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3,α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3,α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3,α5-α4．的秩为4．

已知向量组(1)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3,α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3,α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3,α5-α4．的秩为4．

admin2013-03-17  45
问题 已知向量组(1)：α1，α2，α3；(II)：α1，α2，α3,α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3,α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3,α5-α4．的秩为4．
选项
答案 因为r(I)=r(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，α4可 由α1，α2，α3线性表出，设为α4=l1+l2α2+l3α3． 若k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=0， (k1-l1k4)α1+(k2-l2k4)α2+(k3-l3k3)α3+k4α5=0， r(Ⅲ)=4，即α1，α2，α3，α5线性无关．故必有 [*] 解k4=0，k3=0，k2=0，k1=0。 于是α1，α2，α3,α5-α4线性无关．即其秩为4．
解析
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考研数学三

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