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将长为L的细棒随机截成3段,求3段构成三角形的概率.
将长为L的细棒随机截成3段,求3段构成三角形的概率.
admin
2020-05-02
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问题
将长为L的细棒随机截成3段,求3段构成三角形的概率.
选项
答案
设A表示“3段构成三角形”. 方法一 设x,y分别表示其中两段的长度,则第3段的长度为L-x-y,且样本空间为 S={(x,y)|0<x<L,0<y<L,0<x+y<L} 要使三段构成三角形,则 x+y>L-x-y,x+(L-x-y)>y y+(L-x-y)>x 即x+y>L/2,y<L/2,x<L/2.所以事件A为 A={(x,y| x+y>L/2,y<L/2,x<L/2} 从而S为等腰三角形,腰长为L,A为图2-1-2中的斜线部分,由几何概率的定义知,所求概率为 P(A)=A的面积/S的面积=1/4 [*] 方法二 设棒的左端点为数轴上的原点,两折点的坐标分别为x,y,且x<y,如图2-1-3所示,则样本空间为 S={(x,y)|0<x,y<L,x<y} 注意到3段长度依次为x,y-x,L-y,于是 [*] S是直角边为L的直角三角形,A是直角边为L/2的直角三角形,如图2-1-3所示.由几何概率的定义知,所求概率为P(A)=1/4. [*] 方法三 设x,y,z分别表示其中3段的长度,那么样本空间: S={(x,y)|0<x,y,z<L,x+y+z=L} 且 A={(x,y)|x+y>z,y+z>x,z+x>y,x,y,z∈S} 于是S,A如图2-1-4所示.S为三角形ΔEFG,A为三角形ΔE’F’G’.易知ΔE’F’G’的面积为ΔEFG面积的1/4,故由几何概率的定义知,所求概率为 P(A)=ΔE’F’G’的面积/ΔEFG的面积=1/4 [*]
解析
这是一个几何概率问题,正确作图是解题的关键,并注意到三角形的3条边所满足的充要条件是任何两个边之和大于第三边.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gJv4777K
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考研数学一
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