2. 考研
  3. 已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为 又P{X=1}=0．5，且X与Y不相关． (Ⅰ)求未知参数a，b，c； (Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X，Y)=1}是否独立，为什么? (Ⅲ)随机变量X+Y与X—Y是否相关，是否独立?

已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为 又P{X=1}=0．5，且X与Y不相关． (Ⅰ)求未知参数a，b，c； (Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X，Y)=1}是否独立，为什么? (Ⅲ)随机变量X+Y与X—Y是否相关，是否独立?

admin2019-05-14  42
问题 已知二维随机变量(X，Y)的概率分布为

又P{X=1}=0．5，且X与Y不相关．
(Ⅰ)求未知参数a，b，c；
(Ⅱ)事件A={X=1}与B={max(X，Y)=1}是否独立，为什么?
(Ⅲ)随机变量X+Y与X—Y是否相关，是否独立?
选项
答案(Ⅰ)应用联合分布、边缘分布关系及x与y不相关求参数a、b、c． 由于P{X=1}=0．5，故P{X=－1}=0．5，a=0．5—0．1—0．1=0．3． 又X与Y不相关[*]E(XY)=EX.EY，其中EX=(一1)×0．5+1×0．5=0． XY可能取值为一1，0，1，且 P{XY=－1}=P{X=－1，Y=1}+P{X=1，Y=－1}=0．1+b， P{XY=1}=P{x=1，Y=1}+P{X=－1，Y=－1}=0．1+c， P{XY=0}=P{X=－1，Y=0}+P{X=1，Y=0}=a+0．1， 所以E(XY)=－0．1－b+0．1+c=c－b，由E(XY)=EXEY=0[*]c－b=0，b=c， 又b+0．1+c=0．5，所以b=c=0．2． (Ⅱ)由于A={X=1}[*]B={max(X，Y)=1}，P(AB)=P(A)=0．5，0＜P(B)＜1，又 P(A)P(B)=0．5P(B)＜0．5=P(AB)，即P(AB)≠P(A)P(B)，所以A与B不独立． (Ⅲ)因为Cov(X+Y，X—Y)=Cov(X，X)一Cov(X，Y)+Coy(Y，X)一Cov(Y，Y)=DX—DY， DX=EX2一(EX)2=1，EY=0，DY=EY2一(EY)2=0．6， 所以Cov(X+Y，X—Y)=1—0．6=0．4≠0，X+Y与X一Y相关[*]X+Y与X—Y不独立．
解析
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考研数学一

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