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设f(x)在(a,b)内可微,且 f(a)=f(b)=0,f′(a)<0,f′(b)<0, 则方程f′(x)=0在(a,b)内( ).
设f(x)在(a,b)内可微,且 f(a)=f(b)=0,f′(a)<0,f′(b)<0, 则方程f′(x)=0在(a,b)内( ).
admin
2016-01-25
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问题
设f(x)在(a,b)内可微,且
f(a)=f(b)=0,f′(a)<0,f′(b)<0,
则方程f′(x)=0在(a,b)内( ).
选项
A、没有实根
B、有且仅有一个实根
C、有且仅有两个不等实根
D、至少有两个不等实根
答案
D
解析
利用极限的保号性及f′(a)<0,f′(b)<0.先证明存在一点c∈(a,b),使f(c)=0.于是f(x)有三个零点,两次使用罗尔定理便得到结论(D)成立.
因
利用极限的保号性,在a的右邻域内必存在点x
1
,使f(x
1
)<0,其中a<x
1
<
.
同理由f′(b)<0知,必存在一点x
2
,使f(x
2
)>0,其中
<x
2
<b.由连续函数的零点定理知,必存在C∈(x
1
,x
2
)
(a,b),使f(c)=0.
在闭区间[a,c],[(c,b]上对f(x)分别使用罗尔定理可知,至少存在一点ξ
1
∈(a,C)使得f′(ξ
1
)=0,至少存在一点ξ
2
∈(c,b)使f′(ξ
2
)一0.故方程f′(x)=0在(a,b)内至少有两个不等实根,仅(D)入选.
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考研数学三
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