2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)内可微，且 f(a)＝f(b)＝0，f′(a)＜0，f′(b)＜0， 则方程f′(x)＝0在(a，b)内( )．

设f(x)在(a，b)内可微，且 f(a)＝f(b)＝0，f′(a)＜0，f′(b)＜0， 则方程f′(x)＝0在(a，b)内( )．

admin2016-01-25  35
问题 设f(x)在(a，b)内可微，且
f(a)＝f(b)＝0，f′(a)＜0，f′(b)＜0，
则方程f′(x)＝0在(a，b)内(    )．
选项 A、没有实根
B、有且仅有一个实根
C、有且仅有两个不等实根
D、至少有两个不等实根
答案D
解析 利用极限的保号性及f′(a)＜0，f′(b)＜0．先证明存在一点c∈(a，b)，使f(c)＝0．于是f(x)有三个零点，两次使用罗尔定理便得到结论(D)成立．
因  
利用极限的保号性，在a的右邻域内必存在点x1，使f(x1)＜0，其中a＜x1＜．
同理由f′(b)＜0知，必存在一点x2，使f(x2)＞0，其中＜x2＜b．由连续函数的零点定理知，必存在C∈(x1，x2)(a，b)，使f(c)＝0．
在闭区间[a，c]，[(c，b]上对f(x)分别使用罗尔定理可知，至少存在一点ξ1∈(a，C)使得f′(ξ1)＝0，至少存在一点ξ2∈(c，b)使f′(ξ2)一0．故方程f′(x)＝0在(a，b)内至少有两个不等实根，仅(D)入选．
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考研数学三

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