设α、β都是非零的四维列向量，且α与β正交，A=αβT，则矩阵A的线性无关的特征向量共有( )．

admin2013-07-05 79

问题设α、β都是非零的四维列向量，且α与β正交，A=αβ^T，则矩阵A的线性无关的特征向量共有( )．

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案C

解析 ∵ α、β正交，β^Tα=0，且A=αβ^T
∴A²=αβ^Tαβ^T=αOβ^T=D设A是A的特征值，则λ²是A²的特征值．由A²=D知λ=0，即A的特征值只能是0．因α、β都是非零向量，0≤秩rA≤r(α)=1．又A≠D，
∴rA=1则方程组(OJE—A)x=0的系数矩阵的秩为1，
故它的基础解系含三个线性无关的解向量，即A的线性无关的特征向量有三个．

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考研数学三

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