设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积．

admin2022-10-25 50

问题设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明：存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积．

选项

答案S₁(c)=cf(c)，S₂(c)=∫_c¹f(t)dt=-∫₁^cf(t)dt，即证明S₁(c)=S₂(c)，或cf(c)+∫₁^cf(t)dt=0．令φ(x)=x∫₁^xf(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得φ’(c)=0，即cf(c)+∫₁^cf(t)dt=0，所以S₁(c)=S₂(c)，命题得证。

解析

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