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设y=f(x)为区间[0,1]上的非负连续函数.证明:存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积.
设y=f(x)为区间[0,1]上的非负连续函数.证明:存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积.
admin
2022-10-25
76
问题
设y=f(x)为区间[0,1]上的非负连续函数.证明:存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积.
选项
答案
S
1
(c)=cf(c),S
2
(c)=∫
c
1
f(t)dt=-∫
1
c
f(t)dt,即证明S
1
(c)=S
2
(c),或cf(c)+∫
1
c
f(t)dt=0.令φ(x)=x∫
1
x
f(t)dt,φ(0)=φ(1)=0,根据罗尔定理,存在c∈(0,1),使得φ’(c)=0,即cf(c)+∫
1
c
f(t)dt=0,所以S
1
(c)=S
2
(c),命题得证。
解析
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考研数学三
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