设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

admin2015-09-14 109

问题设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

选项

答案对方程组的系数矩阵A作初等行变换： [*] (1)当a=0时，r(A)=1＜n，故方程组有非零解，其同解方程组为x₁+x₂+…+x_n=0，由此得基础解系为ξ₁=(一1，1，0，…，0)^T，ξ₂=(一1，0，1．…，0)^T，…，ξ_n-1=(一1，0，0，…，1)^T，于是方程组的通解为x=k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_n-1ξ_n-1，其中k₁…，k_n-1为任意常数。 (2)当a≠0时，对矩阵B作初等行变换： [*] 可知 [*] 故此时方程组也有非零解，方程组的用自由未知量表示的通解为 x₂=2x₁，x₃=3x₁，…，x_n=nx₁(x₁任意)，由此得基础解系为ξ=(1，2，3，…，n)^T，手是方程组用基础解系表示的通解为x=kξ，其中k为任意常数。

解析

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考研数学三

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