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设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解。
设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解。
admin
2015-09-14
50
问题
设有齐次线性方程组
试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解。
选项
答案
对方程组的系数矩阵A作初等行变换: [*] (1)当a=0时,r(A)=1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为x
1
+x
2
+…+x
n
=0,由此得基础解系为ξ
1
=(一1,1,0,…,0)
T
,ξ
2
=(一1,0,1.…,0)
T
,…,ξ
n-1
=(一1,0,0,…,1)
T
,于是方程组的通解为x=k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-1
ξ
n-1
,其中k
1
…,k
n-1
为任意常数。 (2)当a≠0时,对矩阵B作初等行变换: [*] 可知 [*] 故此时方程组也有非零解,方程组的用自由未知量表示的通解为 x
2
=2x
1
,x
3
=3x
1
,…,x
n
=nx
1
(x
1
任意),由此得基础解系为ξ=(1,2,3,…,n)
T
,手是方程组用基础解系表示的通解为x=kξ,其中k为任意常数。
解析
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考研数学三
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