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  3. 试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件． (1)二元函数的极限存在； (2)二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有界； (3) (4)F(x)=f(x0，y0)在点x0处可微，G(y)=

试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件． (1)二元函数的极限存在； (2)二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有界； (3) (4)F(x)=f(x0，y0)在点x0处可微，G(y)=

admin2016-09-13  127
问题 试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件．
(1)二元函数的极限存在；
(2)二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有界；
(3)
(4)F(x)=f(x0，y0)在点x0处可微，G(y)=f(x0，y)在点y0处可微；
(5)
(6)
选项
答案结论(1)～(4)中每一个分别都是z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的必要条件，而非充分条件．而结论(5)是其既非充分也非必要条件，结论(6)是其充分非必要条件． 因z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微，故z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续，即[*]f(x，y)=f(x0，y0)，则极限[*]f(x，y)必存在，于是z=(x，y)在点P0(x0，y0)某邻域内有界． 结论(3)表示一元函数F(x)=f(x，x0)在x0处连续，G(y)=f(x0，y)在y0处连续，它是二元函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续的必要条件，而非充分条件．而z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件． 只要在z=f(x，y)在P0(x0，y0)的全微分定义 △z=A△x+B△y+o(ρ)，ρ=[*] 中取特殊情况，分别令△y=0与△x=0即证得结论(4)． 结论(5)的[*][fˊx(x，y0)－fˊx(x0，y0)]=0表示偏导函数fˊx(x，y)在y=y0时的一元函数fˊx(x，y0)在x0处连续，它仅是二元偏导函数fˊx(x，y)在P0(x0，y0)处连续的一个必要条件，对[*][fˊy(x0，y)－fˊy(x0，y0)]=0有类似的结果．而z=f(x，y)在P0(x0，y0)处可微又是fˊx(x，y)，fˊy(x，y)在P0(x0，y0)处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件也不是必要条件． 结论(6)的等价形式是 △z=f(x，y)－f(x0，y0)=o(ρ)，ρ=[*]， 它是相应全微分定义中A=0，B=0的情形，则结论(6)是其可微的充分非必要条件．
解析
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考研数学三

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